朱载堉和他的十二平均律

来源:    发布日期:2018-07-03 17:14:56   阅读量:0

这道题目的选取体现了出题者向考生传达我国古代科技成就,引导学生体会中国古代先贤在人类文明中的贡献,有利于增强文化自信,增强民族自豪感。

文/王洪鹏 (中国科技馆 高级工程师)

记者/刘辛味 编辑/陈永杰 供图/视觉中国

2018年高考数学北京卷的题目(理科第4、文科第5)的背景是我国明代学者朱载堉对十二平均律的重要贡献。这道题目的选取体现了出题者向考生传达我国古代科技成就,引导学生体会中国古代先贤在人类文明中的贡献,有利于增强文化自信,增强民族自豪感。其背景律学是音乐、数学和物理学相结合的产物,渗透了数学史和数学文化。数学应用于音乐艺术上,让学生感悟数学的美感。

这道高中数学中的等比数列问题原来还有如此深刻的应用,可能并不为大众所知,那么我们就来看看朱载堉是谁,数学与音乐结合的十二平均律又是怎么一回事。

爱科技不爱王位

朱载堉(1536-1611)是明朝开国皇帝朱元璋九世孙,正宗的皇家子弟。明仁宗长子朱瞻基继承皇位,是为宣宗。朱瞻基的弟弟朱瞻埈被封“郑王”。“郑”是封地,又称藩国,郑王藩国的王府就在今天的河南沁阳。郑王传至朱载堉的父亲朱厚烷,10岁的朱载堉被册封为“世子”。朱载堉本来可以当个欢乐的王二代,享乐一生,然后继承王位,但他却脱离了低级趣味,选择了不同的人生。

朱载堉少年时,父亲因为看不下去当时嘉靖帝沉迷道教,大兴土木修建道场甚至不理朝政,就上疏谏言。还有一个原因就是在朱载堉家族中,出现了争夺王位的内讧,朱厚烷被诬告叛国。总之,皇帝很生气,后果很严重。朱载堉15岁时,朱厚烷被削爵囚禁。朱载堉自然也受到了牵连,但这位正义的少年决定用行动抗议。在王宫的外面,多出了一间土屋,朱载堉住了进去,他发誓父亲一日不归,自己也不回宫。结果这一住就是18年,嘉靖帝死后朱厚烷才得以平反回宫。虽然这段时期生活艰苦,朱载堉却沉浸在学习的海洋里。朱厚烷回来后拉上自己的儿子一起学习律学,研究音乐中的数学问题。

▲河南沁阳市朱载堉纪念馆的“巨无霸”唢呐

朱载堉少年时代的阅历,使他终身远离名利场,潜心科学艺术事业。更夸张的是,朱厚烷过世后,朱载堉主动让出继承权。起初,皇帝自然不同意。朱载堉历经15年7次上疏,才最终将爵位让出。后人赞颂朱载堉为“真天潢中异人也”。

不爱王位的朱载堉喜欢什么呢?用今天的话来讲,他把自己毕生的精力投入到了学术研究中。他是集数学、律学、音乐、乐器制造、舞蹈、天文历法于一身的伟大学者,被著名科学史家李约瑟称为“东方文艺复兴式的圣人”。除了首创十二平均律(twelve tone equal temperament),朱载堉在科学上还有很多伟大的成就:最早使用算盘进行开方运算;完成九进制和十进制的小数换算;首次找到了四项等比数列的求解方法和求解公式;通过实验提出了管口校正方法;自行设计了以十二平均律为原理的定音乐器;通过排黍定尺实验,研究度量衡的变迁史,其方法影响深远;准确地计算了回归年长度,以此推算了北京地区的地理纬度;测定洛阳地区的地磁偏角,这是科学史上第一个有精确数值的磁偏角记载。

在文艺方面,朱载堉也成就颇丰。他为与音乐相配的“舞学”奠定了理论基础,为“舞学”提出了一系列颇为先进的教育观念,可以说今天的乐器伴唱、识谱学唱等都还有当时的影子。朱载堉留下了大量的舞蹈图谱,他设计的 《天下太平舞》,可谓开创了团体操的先河。这位音乐王子作词脍炙人口,在文学性上有强烈的批判现实主义色彩。朱载堉一生笃学不怠,潜心著书,著述超过百万字。他晚年“一人吹律,一人弹琴,一人击缶而歌。余亦自歌,互相倡和,而乐在其中矣。”

▲八十一档双排大算盘

十二平均律——12是怎么来的?

朱载堉最重要的贡献就是他第一个解决了律学中的“返宫”难题,发明了十二平均律(也称十二等程律),他自己称之为“新法密率”。学过钢琴的同学都知道,钢琴一个八度是七个白键和五个黑键,这十二个音就体现了十二平均律。简单说,就是把两个do之间平均分了十二份,每份就是一个半音,这些音可不是凭空哼出来的,而是真的用算盘计算出来的,每个音的频率为前一个音的2开12次方,即1.059463094359295倍。

人类对于声音的探索已经有数千年历史了。音乐是世界的语言,我们发展出了各式各样的音乐形式。为什么要把一个八度分成12份?这要从人类的听觉开始谈起。人类能听到的声音频率大概在20Hz到20000Hz之间,但我们大脑接收到声波后,不会认为按等差数列排布的声音(如200Hz、300Hz、400Hz)是等间距的,而是按等比数列的形式(如100Hz、200Hz、400Hz),两个八度之间的距离在频率上就是两倍关系,比如高音do的频率是do频率的2倍。

虽然古人还不能从物理原理上阐释声音的产生和传播规律,但很早人们就知道弦振动的频率和其长度成反比。如果用手按住一根弦的中间,就成为了2根以1/2长度振动的弦,我们会听到一个比较高的音,它的频率和主音F频率相比是2:1,恰好是一个八度。那如果在其他位置呢?在数学上3:1、4:1都是简单的比例,它们能得出两个重要的频率,前者是主音的3/2倍,它们的音程关系在乐理上被称为纯五度。后者是主音的4/3倍,被称为纯四度。

不同音程间的和谐程度不同,越是这样简单的比例听起来越和谐。我们可以在一根弦上不断地寻找最和谐的音,在听觉上除了两个八度,最和谐的就是纯五度和纯四度,那么就可以继续把它们的频率减半找到相应的最和谐音,3/2F自身的3/2倍,成为了9/4F,相当于超出了两个八度,但我们可以在两个八度内找到与它等价的音,就是它的1/2,成为了9/8F。

那么可以继续找到3/2的3次方、4次方,无限找下去吗?古人也没有这么傻,经过一番尝试后,人们发现找到12个音就能大致让最和谐的音循环起来。事实上,只要计算5次,就能得到五度相生律,这就是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的方法,再加上主音和4/3主音,就是我们今天用的do到si七个音。

但是,无论是五度相生还是三分损益,都不能实现“黄钟还原”,也就是我们刚才提到的返宫问题,对应于西方的不能“闭合成圈”(closed cycle)。三分损益进行12次后,所得到的音和最初的音不成八度关系,无法周而复始地旋宫转调,而且三分损益法本身计算精度就不足,加之当时乐器制造是凭经验而非数学和物理学原理,所以找到真正的十二平均律成了一大难题。

朱载堉充分汲取了前人的经验,他了解到八度的弦长比为2:1,把八度以等比的形式平均分成12份,则需构成一个等比数列。但当时还没有等比数列的求解方法,他看到《周礼》中记载的勾股定理得到启发,将黄钟定为1,一个八度内音程为2,即构成了一个首项为1,末项为2,共13项的等比数列,比例系数就是 。那么如何找到这个比例系数呢?用今天的方法来看,他只需将2开方得到中间项(蕤宾),再继续开平方得到半列的中间项(南吕),继续开立方则得到应钟,也就是 。

为什么一个如此简单的等式竟然要用千年来找到,如果把我们放在朱载堉的时代,因为当时所用的黄钟弦长为9,没有人把它定义为1,而朱载堉利用圆内接正方形,从数学上进行了推论。我国科学史家戴念祖先生就认为,朱载堉其实已经通过简单的运算得到了比例系数,如果不用《周礼》中圆内切正方形的方法推论黄钟为1,则会被同时代的律学家指责为事先返宫。所以有些说法认为十二平均律是发现,而不是发明,因为解决返宫问题,“等程律”是必然的。

值得一提的是,朱载堉在十二平均律的研究中,使用算盘进行开方运算精度达小数点后24位!他自己设计了81档的特大算盘,最终解决了十二平均律这个千年难题,不仅在数学史上,也在音乐理论史上具有划时代意义。

▲《 混元三教九流图赞》碑拓片(局部)

▲混元三

命途多舛的十二平均律

朱载堉创建十二平均律后说:“此盖二千余年之所未有,自我圣朝始也,学者宜尽心焉。”

可惜的是,十二平均律只是墙内开花墙外香,欧洲人在赞叹并实践朱载堉的伟大发明的时候,在中国朱载堉的著作却被束之高阁。

一方面,朱载堉生活的时代,明朝已经开始风雨飘摇。朱载堉所创建的律学并未引起当朝者的重视。乐律与历法一直被认为事关江山社稷,不会轻易更改。尽管朱载堉有皇室血统,但其相关著作没有被刊印推广,更像是他自己自娱自乐的产物。等到最高层注意到朱载堉的成就时,已经到了“康乾盛世”。为了巩固清朝皇室根基,乾隆帝极力维护康熙打压朱载堉的做法,十年间下六道圣旨,令他的儿子和殿前大臣对朱载堉本人和他的理论展开批判,展开了文字狱式的围剿。而真正了解朱载堉的成就,清代有记载只有音律学家江永一人。

▲朱载堉的《乐律全书》

在西方,一般认为法国数学家梅森(Marin Mersenne)首先给出十二律精准数值,发表于1636年的著作中。在他之前有荷兰数学家斯台文(Simon Stevin)提出用等比数列的思想解决“闭圆”问题(1596年),但他有计算错误,而且他的成就在三百年后才被发现。不过,同时代意大利传教士利玛窦已经记录了朱载堉关于新法密率的内容,但是否当时就流传到西方学者中还需要更多的史料考证。朱载堉的理论在西方却产生了深远影响。德国物理学家亥姆霍兹(Hermann von Helmholtz)说到:“在中国人中,据说有一个王子叫载堉的,他在旧派音乐家的大反对中,倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及变调的方法,也是这个有天才和技巧的国家发明的。”

不过这里还应澄清,把朱载堉誉为“钢琴理论的鼻祖”就言过其实了,虽然乐理上有共通之处,但民族和文化发展都有各自特色,就像没有十二平均律之前,我们依然也有优美的音乐一样。

因为历史的原因,朱载堉没能与李时珍、宋应星、徐光启和徐霞客等明代科学家一样进入中小学教科书中,对于他的科技成就也是我国上世纪80年代后才逐渐挖掘出来的。我国著名物理学家严济慈先生这样评价朱载堉:“九峰隐名宦七疏让国高风仰九州,丹水扬翰墨十二等律历算闻四海。”科学家的冷静头脑与艺术家的入世激情,在朱载堉的身上得到了完美的统一。历史是公正的,世上少了一位王爷,史上却多了一位科学和文化巨匠。

今天,我们发现朱载堉与十二平均律已进入高考题中,不仅能让全国的青少年了解我国还有这样一位伟大的科学家,似乎还可以传达出这样一个信号,那就是提醒家长和考生不能死啃书本,应该少上一些辅导班,多逛一逛博物馆(科技馆)。

美中不足的是,该道试题没有及时跟踪学术界的最新研究成果。十二平均律应改称为十二等程律。戴念祖是中国物理学史学科主要创建者,他对于朱载堉的研究,开辟了中国古代音乐史和声学史的新局面。2016年,戴念祖在《中国科技术语》杂志发表的《“平均律”和“等程律”术语辨析》一文中,对平均律、中庸律、等程律等概念进行了厘清和纠误。他认为,“平均律”是欧洲十九世纪中叶之前所运用的“中庸律”,不是朱载堉发明的 “等程律”,我们现在所谓的“平均律”常被认为是朱载堉之“等程律”,混淆了“中庸律”和“等程律”的关系。随着国际学术交流的广泛开展,这些在声学和音乐学中的常用词应该及时修订。■